1120.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

3+9123−91833\sqrt[3]{3+9\sqrt[3]{12}-9\sqrt[3]{18}}
REŠENJE ZADATKA

Ideja je da potkoreni izraz napišemo u obliku kuba binoma, odnosno da ga svedemo na oblik (A−B)3=A3−3A2B+3AB2−B3. (A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 .

3+9123−91833 + 9\sqrt[3]{12} - 9\sqrt[3]{18}

Pretpostavimo da potkoreni izraz možemo zapisati kao (x3−y3)3. (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})^3 . Razvojem ovog binoma i grupisanjem članova dobijamo:

(x3−y3)3=(x−y)+3xy23−3x2y3(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})^3 = (x - y) + 3\sqrt[3]{xy^2} - 3\sqrt[3]{x^2y}

Upoređivanjem ovog razvoja sa zadatim izrazom, možemo postaviti sistem jednačina:

{x−y=33xy23=9123−3x2y3=−9183\begin{cases} x - y = 3 \\ 3\sqrt[3]{xy^2} = 9\sqrt[3]{12} \\ -3\sqrt[3]{x^2y} = -9\sqrt[3]{18} \end{cases}

Sređujemo drugu i treću jednačinu tako što ih podelimo sa 3, odnosno -3:

{xy23=3123x2y3=3183\begin{cases} \sqrt[3]{xy^2} = 3\sqrt[3]{12} \\ \sqrt[3]{x^2y} = 3\sqrt[3]{18} \end{cases}

Unosimo broj 3 pod treći koren (3=273 3 = \sqrt[3]{27} ) kako bismo izjednačili potkorene veličine:

{xy23=27⋅123=3243x2y3=27⋅183=4863\begin{cases} \sqrt[3]{xy^2} = \sqrt[3]{27 \cdot 12} = \sqrt[3]{324} \\ \sqrt[3]{x^2y} = \sqrt[3]{27 \cdot 18} = \sqrt[3]{486} \end{cases}

Na osnovu sređenih korena formiramo nov, uprošćen sistem jednačina:

{x−y=3xy2=324x2y=486\begin{cases} x - y = 3 \\ xy^2 = 324 \\ x^2y = 486 \end{cases}

Deljenjem treće jednačine sa drugom, računamo odnos nepoznatih x x i y: y :

x2yxy2=486324  ⟹  xy=32  ⟹  x=32y\frac{x^2y}{xy^2} = \frac{486}{324} \implies \frac{x}{y} = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{2}y

Zamenjujemo dobijeni izraz za x x u prvu jednačinu sistema x−y=3: x - y = 3 :

32y−y=3  ⟹  12y=3  ⟹  y=6\frac{3}{2}y - y = 3 \implies \frac{1}{2}y = 3 \implies y = 6

Kada smo našli y, y , lako računamo vrednost za x: x :

x=3+6=9x = 3 + 6 = 9

Proveravamo da li dobijene vrednosti zadovoljavaju proizvode: xy2=9⋅36=324 xy^2 = 9 \cdot 36 = 324 i x2y=81⋅6=486. x^2y = 81 \cdot 6 = 486 . Pošto su uslovi ispunjeni, potkoreni izraz možemo zapisati kao kub binoma:

3+9123−9183=(93−63)33 + 9\sqrt[3]{12} - 9\sqrt[3]{18} = (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6})^3

Vraćamo se na početni zadatak. Treći koren i treći stepen se poništavaju, čime dobijamo konačno rešenje:

(93−63)33=93−63\sqrt[3]{(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6})^3} = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti