1090.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Proveriti tačnost sledeće jednakosti:

3+5−13+43=22(3+1)\sqrt{3+\sqrt{5}-\sqrt{13+4\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3}+1)
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pojednostaviti unutrašnji koren 13+43 \sqrt{13+4\sqrt{3}} transformacijom u kvadrat binoma.

13+43=13+2⋅2⋅3=12+1+2⋅12⋅113+4\sqrt{3} = 13 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 12 + 1 + 2 \cdot \sqrt{12} \cdot 1

Prepoznajemo obrazac (a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 , gde je a=12=23 a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} i b=1. b = 1 .

13+43=(23+1)213+4\sqrt{3} = (2\sqrt{3}+1)^2

Sada korenujemo dobijeni izraz:

13+43=23+1\sqrt{13+4\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}+1

Zamenjujemo dobijenu vrednost nazad u početni izraz na levoj strani jednakosti.

3+5−(23+1)=2+5−23\sqrt{3+\sqrt{5}-(2\sqrt{3}+1)} = \sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{3}}

Primetimo da numeričke vrednosti ne dozvoljavaju lako dalje korenjenje. Kvadrirajmo obe strane jednakosti da proverimo identitet.

L2=3+5−13+43L^2 = 3+\sqrt{5}-\sqrt{13+4\sqrt{3}}

Kvadriramo desnu stranu jednakosti D=22(3+1): D = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3}+1) :

D2=(22)2(3+1)2=24(3+23+1)D^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 (\sqrt{3}+1)^2 = \frac{2}{4}(3+2\sqrt{3}+1)

Sređujemo izraz za D2: D^2 :

D2=12(4+23)=2+3D^2 = \frac{1}{2}(4+2\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}

Upoređujemo levu stranu L2=2+5−23 L^2 = 2+\sqrt{5}-2\sqrt{3} i desnu stranu D2=2+3. D^2 = 2+\sqrt{3} . Vidimo da vrednosti nisu jednake.

2+5−23≠2+32+\sqrt{5}-2\sqrt{3} \neq 2+\sqrt{3}

Zaključujemo da polazna jednakost nije tačna.

Jednakost nije zadovoljena.\text{Jednakost nije zadovoljena.}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti