1055. Korenovanje | Balkan Tutor

Za racionalizaciju imenioca koji sadrži zbir ili razliku kubnih korena koristimo identitete za zbir i razliku kubova.

x^3 \pm y^3 = (x \pm y)(x^2 \mp xy + y^2)

Rešavamo prvi slučaj $\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} .$ Množimo i brojilac i imenilac nepotpunim kvadratom razlike.

\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}

U imeniocu prepoznajemo formulu za zbir kubova $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3 ,$ gde je $x = \sqrt[3]{a}$ i $y = \sqrt[3]{b} .$

\frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3}

Sređivanjem imenioca dobijamo konačan oblik za prvi primer:

\frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a + b}

Rešavamo drugi slučaj $\frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} .$ Množimo i brojilac i imenilac nepotpunim kvadratom zbira.

\frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}

U imeniocu primenjujemo formulu za razliku kubova $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3 .$

\frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3}

Sređivanjem imenioca dobijamo konačan oblik za drugi primer:

\frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a - b}

1055.
Korenovanje