1510.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu (simetrična jednačina):

x4−2x3−x2−2x+1=0x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Pošto x=0 x = 0 nije rešenje ove jednačine, možemo celu jednačinu podeliti sa x2. x^2 .

x4x2−2x3x2−x2x2−2xx2+1x2=0\frac{x^4}{x^2} - \frac{2x^3}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0

Nakon deljenja i grupisanja članova sa istim koeficijentima, dobijamo:

(x2+1x2)−2(x+1x)−1=0\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 2\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1 = 0

Uvodimo smenu t=x+1x. t = x + \frac{1}{x} . Tada je t2=x2+2+1x2, t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} , odnosno x2+1x2=t2−2. x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .

t=x+1xt = x + \frac{1}{x}

Zamenom smene u jednačinu dobijamo kvadratnu jednačinu po t: t :

(t2−2)−2t−1=0  ⟹  t2−2t−3=0(t^2 - 2) - 2t - 1 = 0 \implies t^2 - 2t - 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t t koristeći formulu:

t1,2=2±(−2)2−4⋅1⋅(−3)2=2±4+122=2±42t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}

Dobijamo vrednosti za t: t :

t1=3,t2=−1t_1 = 3, \quad t_2 = -1

Vraćamo smenu za t1=3: t_1 = 3 :

x+1x=3  ⟹  x2−3x+1=0x + \frac{1}{x} = 3 \implies x^2 - 3x + 1 = 0

Rešenja prve kvadratne jednačine su:

x1,2=3±9−42=3±52x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

Vraćamo smenu za t2=−1: t_2 = -1 :

x+1x=−1  ⟹  x2+x+1=0x + \frac{1}{x} = -1 \implies x^2 + x + 1 = 0

Rešenja druge kvadratne jednačine su konjugovano-kompleksni brojevi:

x3,4=−1±1−42=−1±i32x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x∈{3±52,−1±i32}x \in \left\{ \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti