Podeli

168.
Eksponencijalni limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {\infin}}(\frac{2x+3}{2x-1})^x

REŠENJE ZADATKA

Dobija se neodređeni izraz oblika: $1^{\infin}.$

\lim_{{x} \to {\infin}}(\frac{2x+3}{2x-1})^x =\\ \lim_{{x} \to {\infin}}(\frac{\frac{2x}{x}+\frac{3}{x}}{\frac{2x}{x}-\frac{1}{x}})^x= \lim_{{x} \to {\infin}}(\frac{2+\cancel{\frac{3}{x}^0}}{2-\cancel{\frac{1}{x}^0}})^x= 1^{\infin}

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Transformisati bazu dodavanjem jedinice kako bi poprimila oblik: $1+\frac{1}{nešto}.$ Oduzeti dodatu jedinicu da bi izraz ostao matematički ekvivalentan.

\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{2x+3}{2x-1}-1)^x

Srediti izraz u zagradi.

\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{2x+3-(2x-1)}{2x-1})^x=\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{2x+3-2x+1}{2x-1})^x=\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{4}{2x-1})^x

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka.

\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{\frac{2x-1}{4}})^x

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{\frac{2x-1}{4}})^{\frac{2x-1}{4}*\frac{4}{2x-1}*x}

Sada se može primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e$

e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{4x}{2x-1}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\lim_{{x} \to {\infin}}(\frac{1}{\frac{2x-1}{4}})^{\frac{2x-1}{4}}=e

Odrediti graničnu vrednost u eksponentu.

e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{\frac{4x}{x}}{\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}}}=e^{\frac{4}{2+\cancel{\frac{1}{x}^0}}}=e^2

168.Eksponencijalni limes

168.
Eksponencijalni limes