2120. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo domen nejednačine. Zbog kvadratnog korena, potkorena veličina mora biti nenegativna.

x \ge 0

Zapišimo izraz $10^{2\sqrt{x}}$ kao stepen sa osnovom 100.

10^{2\sqrt{x}} = (10^2)^{\sqrt{x}} = 100^{\sqrt{x}}

Sada nejednačina postaje:

100^{\sqrt{x}} + 25^{\sqrt{x}} \leqslant 4,25 \cdot 50^{\sqrt{x}}

Podelimo celu nejednačinu sa $25^{\sqrt{x}} ,$ što je uvek pozitivno.

\frac{100^{\sqrt{x}}}{25^{\sqrt{x}}} + 1 \leqslant 4,25 \cdot \frac{50^{\sqrt{x}}}{25^{\sqrt{x}}}

Primenom pravila za stepenovanje količnika dobijamo:

\left(\frac{100}{25}\right)^{\sqrt{x}} + 1 \leqslant 4,25 \cdot \left(\frac{50}{25}\right)^{\sqrt{x}}

Što se pojednostavljuje u:

4^{\sqrt{x}} + 1 \leqslant 4,25 \cdot 2^{\sqrt{x}}

Uvodimo smenu $t = 2^{\sqrt{x}} .$ Pošto je $\sqrt{x} \ge 0 ,$ sledi da je $t \ge 2^0 = 1 .$

t^2 - 4,25t + 1 \leqslant 0

Pomnožimo nejednačinu sa 4 da bismo se oslobodili decimalnog broja.

4t^2 - 17t + 4 \leqslant 0

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu $4t^2 - 17t + 4 = 0 .$

t_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8}

Rešenja kvadratne jednačine su:

t_1 = \frac{1}{4}, \quad t_2 = 4

Rešenje kvadratne nejednačine $4t^2 - 17t + 4 \leqslant 0$ je:

t \in \left[\frac{1}{4}, 4\right]

Uzimajući u obzir uslov $t \ge 1 ,$ dobijamo:

t \in [1, 4]

Vraćamo smenu $t = 2^{\sqrt{x}} .$

1 \leqslant 2^{\sqrt{x}} \leqslant 4

Zapišimo brojeve 1 i 4 kao stepene sa osnovom 2.

2^0 \leqslant 2^{\sqrt{x}} \leqslant 2^2

Pošto je osnova veća od 1, znak nejednakosti se ne menja kada pređemo na izložioce.

0 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 2

Kvadriranjem obe strane nejednakosti (jer su sve vrednosti nenegativne) dobijamo rešenje za $x .$

0 \leqslant x \leqslant 4

Ovo rešenje pripada domenu $x \ge 0 ,$ pa je konačan skup rešenja:

x \in [0, 4]

2120.Eksponencijalne jednačine i nejednačine