TEKST ZADATKA
Rešiti sistem jednačina: x4−3y−y2=1 i (x+y)2=9.
REŠENJE ZADATKA
Postavljamo dati sistem jednačina:
{x4−3y−y2=1(x+y)2=9 Eksponencijalna jednačina oblika ab=1 je zadovoljena u tri različita slučaja:
1)2)3)a=1b=0 i a=0a=−1 i b je paran broj **Prvi slučaj:** Neka je osnova x=1. Zamenjujemo ovu vrednost u drugu jednačinu sistema:
(1+y)2=9 Rešavamo dobijenu jednačinu po y:
1+y=3∨1+y=−3 Računamo vrednosti za y. Dobijamo rešenja y=2 i y=−4. Parovi koji su rešenja u ovom slučaju su (1,2) i (1,−4).
y=2∨y=−4 **Drugi slučaj:** Neka je izložilac jednak nuli, uz uslov da osnova nije nula (x=0):
4−3y−y2=0⟹y2+3y−4=0 Rešavamo kvadratnu jednačinu po y:
y1,2=2−3±32−4⋅1⋅(−4)=2−3±5 Rešenja kvadratne jednačine su:
y1=1,y2=−4 Za y=1, zamenjujemo vrednost u drugu jednačinu:
(x+1)2=9⟹x+1=3∨x+1=−3 Računamo vrednosti za x. Oba rešenja zadovoljavaju uslov x=0. Dobijamo parove (2,1) i (−4,1).
x=2∨x=−4 Za y=−4, zamenjujemo vrednost u drugu jednačinu:
(x−4)2=9⟹x−4=3∨x−4=−3 Računamo vrednosti za x. Oba rešenja zadovoljavaju uslov x=0. Dobijamo parove (7,−4) i (1,−4).
x=7∨x=1 **Treći slučaj:** Neka je osnova x=−1. Zamenjujemo u drugu jednačinu:
(−1+y)2=9⟹−1+y=3∨−1+y=−3 Računamo vrednosti za y:
y=4∨y=−2 Proveravamo da li je izložilac paran za dobijene vrednosti y. Za y=4 računamo vrednost izložioca. Broj -24 je paran, pa je par (−1,4) validno rešenje.
4−3⋅4−42=4−12−16=−24 Za y=−2 računamo vrednost izložioca. Broj 6 je paran, pa je par (−1,−2) takođe validno rešenje.
4−3⋅(−2)−(−2)2=4+6−4=6 Konačan skup rešenja sistema je unija svih pronađenih parova:
(x,y)∈{(1,2),(1,−4),(2,1),(−4,1),(7,−4),(−1,4),(−1,−2)}