3385.

169.g

TEKST ZADATKA

Odrediti poslednju cifru broja: 83105 83^{105} ;

REŠENJE ZADATKA

Poslednja cifra stepena nekog broja zavisi isključivo od poslednje cifre njegove osnove. Zato je poslednja cifra broja 83105 83^{105} ista kao i poslednja cifra broja 3105. 3^{105} .

Posmatrajmo poslednje cifre prvih nekoliko stepena broja 3:

31=3 (poslednja cifra je 3)32=9 (poslednja cifra je 9)33=27 (poslednja cifra je 7)34=81 (poslednja cifra je 1)35=243 (poslednja cifra je 3)\begin{aligned} 3^1 &= 3 \text{ (poslednja cifra je 3)} \\ 3^2 &= 9 \text{ (poslednja cifra je 9)} \\ 3^3 &= 27 \text{ (poslednja cifra je 7)} \\ 3^4 &= 81 \text{ (poslednja cifra je 1)} \\ 3^5 &= 243 \text{ (poslednja cifra je 3)} \end{aligned}

Primećujemo da se poslednje cifre ponavljaju u ciklusu od četiri cifre: 3, 9, 7, 1.

Da bismo odredili poslednju cifru broja 3105, 3^{105} , potrebno je da izložilac 105 podelimo dužinom ciklusa, odnosno brojem 4, i nađemo ostatak.

105=4⋅26+1105 = 4 \cdot 26 + 1

Pošto je ostatak pri deljenju 1, poslednja cifra broja 3105 3^{105} je ista kao i poslednja cifra broja 31, 3^1 , a to je 3. Prema tome, poslednja cifra broja 83105 83^{105} je 3.