3366.

171.b

TEKST ZADATKA

Odrediti poslednju cifru broja: 7777. 7^{777} .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo odredili poslednju cifru velikog stepena, posmatramo poslednje cifre prvih nekoliko stepena osnove (broja 7 7 ) kako bismo uočili pravilo, odnosno periodičnost ponavljanja.

Računamo prve stepene broja 7 7 i beležimo njihove poslednje cifre:

71=772=4973=34374=240175=16807\begin{aligned} 7^1 &= 7 \\ 7^2 &= 49 \\ 7^3 &= 343 \\ 7^4 &= 2401 \\ 7^5 &= 16807 \end{aligned}

Primećujemo da se poslednje cifre ponavljaju u nizu: 7,9,3,1. 7, 9, 3, 1 . Dužina ovog perioda je 4, 4 , što znači da se svaka četvrta potencija završava istom cifrom.

Sada delimo izložilac 777 777 dužinom perioda 4 4 da bismo odredili ostatak pri deljenju. Prema teoremi o deljenju sa ostatkom, broj 777 777 možemo zapisati u obliku 777=4q+r, 777 = 4q + r , gde je 0≤r<4. 0 \le r < 4 .

777=4⋅194+1777 = 4 \cdot 194 + 1

Pošto je ostatak pri deljenju 1, 1 , to znači da poslednja cifra broja 7777 7^{777} odgovara prvoj cifri u našem ponavljajućem nizu, odnosno poslednjoj cifri broja 71. 7^1 .

71=77^1 = 7

Zaključujemo da je poslednja cifra traženog broja 7. 7 .