Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Trigonometrija je deo matematike koji povezuje uglove sa određenim brojčanim vrednostima. Sama reč znači „merenje trougla“. U ovoj oblasti naučićemo kako da svakom uglu pridružimo određeni broj i kako da te brojeve koristimo za rešavanje različitih problema.

Sadržaj

• Pravougli trougao i definicije
• Vrednosti za uglove 30°, 45° i 60°
• Osnovne relacije

Pravougli trougao i definicije

U pravouglom trouglu jedna stranica je uvek nasuprot pravom uglu i zove se hipotenuza. Druge dve su katete. U odnosu na izabrani oštar ugao $\alpha$, jednu katetu zovemo naspramna (leži nasuprot uglu $\alpha$), a drugu nalegla (obrazuje ugao $\alpha$ zajedno sa hipotenuzom).

Trigonometrijske funkcije oštrog ugla $\alpha$ definišemo kao odnose stranica:

$\sin \alpha = \frac{\text{naspramna}}{\text{hipotenuza}}, \qquad \cos \alpha = \frac{\text{nalegla}}{\text{hipotenuza}}$

$\text{tg}\, \alpha = \frac{\text{naspramna}}{\text{nalegla}}, \qquad \text{ctg}\, \alpha = \frac{\text{nalegla}}{\text{naspramna}}$

Vrednosti za uglove 30°, 45° i 60°

Za tri ugla vrednosti se lako izvode iz poznatih trouglova, pa ih vredi znati napamet. Uglove $30^\circ$ i $60^\circ$ dobijamo iz jednakostraničnog trougla presečenog visinom, a ugao $45^\circ$ iz pravouglog jednakokrakog trougla (polovine kvadrata).

Uglovi $30^\circ$ i $60^\circ$. Pođimo od jednakostraničnog trougla stranice $2$, kome su svi uglovi $60^\circ$. Kada spustimo visinu, ona deli trougao na dva jednaka pravougla trougla. Osnovica se prepolovi na $1$, a gornji ugao od $60^\circ$ se prepolovi na $30^\circ$. Visinu nalazimo Pitagorinom teoremom:

$h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$

Sada u tom pravouglom trouglu očitavamo odnose. Za ugao $60^\circ$ naspramna kateta je visina $\sqrt{3}$, nalegla je $1$, a hipotenuza $2$:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

Za ugao $30^\circ$ naspramna i nalegla kateta zamene uloge, pa je:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ugao $45^\circ$. Uzmimo kvadrat stranice $1$ i povucimo dijagonalu. Dobijamo pravougli trougao sa dve jednake katete dužine $1$ i sa oba oštra ugla po $45^\circ$. Hipotenuza (dijagonala) je:

$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Pošto su obe katete jednake, naspramna i nalegla su iste, pa je:

$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vrednosti za tangens i kotangens dobijamo kao odnos sinusa i kosinusa.

Sve zajedno sređeno je u tablici karakterističnih uglova, koju treba znati napamet jer znatno olakšava zadatke.

Funkcija	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\text{tg}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\text{ctg}$	$\sqrt{3}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Osnovne relacije

Između trigonometrijskih funkcija postoje stalne veze. One omogućavaju da iz jedne poznate funkcije izračunamo ostale i da uprostimo izraze.

Osnovni identitet

Za svaki ugao je zbir kvadrata sinusa i kosinusa jednak jedinici:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Ovo je zapravo Pitagorina teorema. Ako u pravouglom trouglu jednakost $a^2 + b^2 = c^2$ podelimo kvadratom hipotenuze $c^2$, dobijamo $\left(\dfrac{a}{c}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{c}\right)^2 = 1$, a to su upravo $\sin^2 \alpha$ i $\cos^2 \alpha$.

Ako osnovni identitet podelimo sa $\cos^2 \alpha$, dobijamo vezu sa tangensom:

$1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Odatle možemo izraziti kosinus, a zatim i sinus preko tangensa (za oštar ugao vrednosti su pozitivne):

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}}, \qquad \sin \alpha = \frac{\text{tg}\, \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}}$

Tangens i kotangens

$\text{tg}\, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \text{ctg}\, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Tangens i kotangens su recipročni, pa je njihov proizvod uvek jednak jedinici:

$\text{tg}\, \alpha \cdot \text{ctg}\, \alpha = 1$

Trigonometrijske funkcije komplementnih uglova

Za komplementne uglove, čiji je zbir $90^\circ$, funkcija jednog ugla jednaka je kofunkciji drugog:

$\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha), \qquad \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$

$\text{tg}\, \alpha = \text{ctg}(90^\circ - \alpha), \qquad \text{ctg}\, \alpha = \text{tg}(90^\circ - \alpha)$

Isti identiteti pomažu i kada je poznata samo vrednost tangensa. Ako izraz sadrži jednak broj činilaca sinusa i kosinusa u svakom sabirku, podelimo brojilac i imenilac sa $\cos^2 \alpha$ da sve pređe u tangens.