Geometrijska interpretacija kompleksnog broja

Za razliku od realnih brojeva, koje možemo smestiti na jednodimenzionalnu brojevnu pravu (obično $x-osu$), kompleksni brojevi zahtevaju dvodimenzionalni prostor za svoju vizuelnu reprezentaciju. Taj prostor nazivamo kompleksna ravan. Ova ravan je dvodimenzionalni koordinatni sistem, sličan Dekartovom koordinatnom sistemu, ali sa specifičnim osama:

• Realna osa (x-osa): Horizontalna osa predstavlja realni deo kompleksnog broja.
• Imaginarna osa (y-osa): Vertikalna osa predstavlja imaginarni deo kompleksnog broja.

Svaki kompleksan broj $z=x+yi$ može se jedinstveno predstaviti kao tačka $(x,y)$ u kompleksnoj ravni. Alternativno, može se predstaviti i kao vektor koji počinje od koordinatnog početka $(0,0)$ i završava se u tački $Z(x,y)$.

Modul kompleksnog broja

Modul kompleksnog broja $z=x+iy$, koji se označava sa $|z|$, predstavlja rastojanje tačke $Z(x, y)$ od koordinatnog pocetka $O(0,0)$ u kompleksnoj ravni.

Ovo rastojanje možemo lako odrediti primenom Pitagorine teoreme. Posmatrajmo pravougli trougao čije su katete dužine $∣x∣$ (apsolutna vrednost realnog dela) i $∣y∣$ (apsolutna vrednost imaginarnog dela), a hipotenuza je upravo rastojanje koje tražimo, tj. $∣z∣$.

Na osnovu Pitagorine teoreme:

$|z|^2=x^2+y^2$

Odakle sledi da je modul kompleksnog broja:

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

Modul $∣z∣$ je uvek nenegativan realan broj i predstavlja veličinu ili dužinu kompleksnog broja kada se posmatra kao vektor.

Konjugovana vrednost kompleksnog broja

Konjugovana vrednost kompleksnog broja $z=x+iy$ je jednaka:

$\overline{z}=x-iy$

Geometrijski, konjugovana vrednost predstavlja refleksiju tačke (ili vektora) preko realne $x$-ose. Realni deo ostaje isti, dok imaginarni deo menja znak, što je isto kao da se tačka preslika u odnosu na $x-osu$.