Pravilni osmougao sa stranicom 1,5: R, r i površina

Centralni ugao pravilnog mnogougla sa $n$ stranica računamo po formuli $\alpha = \frac{360^\circ}{n} .$ Za osmougao ( $n = 8$ ) imamo:

\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ

Posmatrajmo karakteristični trougao $OAB$ pravilnog osmougla, gde je $O$ centar, a $A$ i $B$ su susedna temena. Znamo da je $AB = a = 1,5 ,$ $OA = OB = R$ (poluprečnik opisanog kruga) i $\angle AOB = \alpha = 45^\circ .$ Neka je $AH$ visina iz temena $A$ na stranicu $OB .$

U pravouglom trouglu $AHO ,$ ugao kod temena $O$ je $45^\circ .$ Primenom trigonometrijskih funkcija računamo dužine kateta $AH$ i $OH :$

\begin{aligned} \sin 45^\circ &= \frac{AH}{OA} \implies AH = R \sin 45^\circ = R \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos 45^\circ &= \frac{OH}{OA} \implies OH = R \cos 45^\circ = R \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}

Dužina odsečka $HB$ jednaka je razlici dužina $OB$ i $OH :$

HB = OB - OH = R - R \frac{\sqrt{2}}{2} = R \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = R \frac{2 - \sqrt{2}}{2}

U pravouglom trouglu $AHB ,$ primenjujemo Pitagorinu teoremu:

\begin{aligned} AH^2 + HB^2 &= AB^2 \\ \left(R \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(R \frac{2 - \sqrt{2}}{2}\right)^2 &= a^2 \end{aligned}

Kvadriramo i sređujemo izraz kako bismo izrazili $R^2 :$

\begin{aligned} R^2 \frac{2}{4} + R^2 \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{4} &= a^2 \\ R^2 \frac{2 + 6 - 4\sqrt{2}}{4} &= a^2 \\ R^2 \frac{8 - 4\sqrt{2}}{4} &= a^2 \\ R^2 (2 - \sqrt{2}) &= a^2 \end{aligned}

Rešavamo po $R^2$ i racionališemo imenilac:

R^2 = \frac{a^2}{2 - \sqrt{2}} = \frac{a^2(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{a^2(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{a^2(2 + \sqrt{2})}{2}

Nalazimo poluprečnik opisanog kruga $R :$

R = \frac{a\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{2}

Zamenom $a = 1,5 = \frac{3}{2}$ dobijamo konačnu vrednost za $R :$

R = \frac{\frac{3}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{2} = \frac{3\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{4}

Površina karakterističnog trougla $OAB$ može se izračunati preko osnovice $OB$ i visine $AH :$

P_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{R^2 \sqrt{2}}{4}

Zamenjujemo dobijeni izraz za $R^2$ u formulu za površinu trougla:

P_{OAB} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{a^2(2 + \sqrt{2})}{2} = \frac{a^2(2\sqrt{2} + 2)}{8} = \frac{a^2(\sqrt{2} + 1)}{4}

Površina pravilnog osmougla je osam puta veća od površine karakterističnog trougla:

P = 8 \cdot P_{OAB} = 8 \cdot \frac{a^2(\sqrt{2} + 1)}{4} = 2a^2(\sqrt{2} + 1)

Zamenom $a = \frac{3}{2}$ dobijamo površinu osmougla:

P = 2 \left(\frac{3}{2}\right)^2 (\sqrt{2} + 1) = 2 \cdot \frac{9}{4} (\sqrt{2} + 1) = \frac{9}{2}(\sqrt{2} + 1)

Poluprečnik upisanog kruga $r$ predstavlja visinu karakterističnog trougla $OAB$ koja odgovara stranici $AB .$ Površinu trougla $OAB$ možemo izraziti i kao:

P_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{1}{2} a r

Izjednačavanjem dve formule za površinu trougla nalazimo $r :$

\begin{aligned} \frac{1}{2} a r &= \frac{a^2(\sqrt{2} + 1)}{4} \\ r &= \frac{a(\sqrt{2} + 1)}{2} \end{aligned}

Zamenom $a = \frac{3}{2}$ dobijamo konačnu vrednost za $r :$

r = \frac{\frac{3}{2}(\sqrt{2} + 1)}{2} = \frac{3(\sqrt{2} + 1)}{4}

Započni učenje

Online časovi

948

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci