Logaritamska jednačina: količnik logaritama jednak 3

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\frac {\log(\sqrt{x+1}+1)} {\log{\sqrt[3]{x-40}}}=3

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačine:

\log\sqrt[3]{x-40} \gt0 \quad\land\quad\sqrt[3]{x-40}\gt0 \quad\land\quad \sqrt{x+1}+1\gt0 \implies x\gt41 \quad\land\quad x\gt40 \quad\land\quad x\ge -1 \implies x\gt41

Unakrsno pomnožiti izraz:

\log(\sqrt{x+1}+1) =3\log\sqrt[3]{x-40}

Primeniti osnovnu osobinu operacija sa stepenima i korenima: $a^{\frac m n}=\sqrt[n]{a^m}$

\log(\sqrt{x+1}+1) =3\log(x-40)^{\frac 13}

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}$

\log(\sqrt{x+1}+1) =\log(x-40)

Kako su osnove jednake, moguće je izjednačiti numeruse:

\sqrt{x+1}+1 =x-40

Prebaciti 1 na drugu stranu znaka jednakosti:

\sqrt{x+1} =x-41

Kvadrirati izraz:

x+1=x^2-82x+1681

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

x^2-83x+1680=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-83$ i $c=1680$

x_{1,2}=\frac {83\pm\sqrt{(-83)^2-4\cdot1\cdot1680}} {2\cdot1} \implies x_1=48, \quad x_2=35

Kako drugo rešenje ne ispunjava uslov jednačine, ono se odbacuje. Konačno rešenje:

x=48

5. Logaritamska jednačina