141.a

Podsetimo se definicija: broj $a$ je leva granična vrednost funkcije $f$ u tački $x_0 ,$ $a=\lim_{x\to x_0-0}f(x) ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x\in D_f$ za koje je $x_0-\delta<x<x_0$ važi $|f(x)-a|<\varepsilon .$ Desna granična vrednost $b=\lim_{x\to x_0+0}f(x)$ definiše se isto, samo za $x_0<x<x_0+\delta .$ Jednostavno rečeno: kod leve granične vrednosti $x$ prilazi tački $x_0$ samo sa leve strane (brojevi manji od $x_0$), a kod desne samo sa desne strane. Koriste se i oznake $x\to x_0^-$ i $x\to x_0^+ .$

Iz gradiva: ako postoje leva i desna granična vrednost u tački $x_0$ i jednake su broju $a ,$ onda postoji i granična vrednost $\lim_{x\to x_0}f(x)=a .$ Funkcija je neprekidna u tački $x_0$ ako je u njoj definisana, ako postoji $\lim_{x\to x_0}f(x)$ i ako je $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) .$ Ako je funkcija definisana u $x_0 ,$ ali nije neprekidna, $x_0$ je tačka prekida. Dakle, za neprekidnost proveravamo tri broja: levu graničnu vrednost, desnu graničnu vrednost i vrednost $f(x_0)$ — sva tri moraju biti jednaka.

Funkcija nije definisana u tački $x_0 .$ „Dodefinisati” je znači zadati joj neku vrednost $f(x_0) .$ Da bi tada bila neprekidna, mora postojati konačna granična vrednost $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$ (leva i desna jednake), i tada stavljamo $f(x_0)=L .$ Ako su leva i desna granična vrednost različite ili beskonačne, nijedan izbor vrednosti $f(x_0)$ ne pomaže.

Podsetimo se: $\operatorname{arctg}u\to\frac\pi2$ kada $u\to+\infty$ i $\operatorname{arctg}u\to-\frac\pi2$ kada $u\to-\infty$; vrednosti su uvek između $-\frac\pi2$ i $\frac\pi2 .$

Brojilac $x^2$ teži broju $1$ u obe tačke, a imenilac $x^2-1$ teži nuli. Znak imenioca: $x^2-1>0$ kada je $x$ dalje od nule od broja $1$ ($x>1$ ili $x<-1$), a $x^2-1<0$ za $-1<x<1 .$

Rešenje: u obe tačke leva i desna granična vrednost se razlikuju, pa $\lim_{x\to\pm1}f(x)$ ne postoji i funkciju nije moguće dodefinisati ni u $-1$ ni u $1$ tako da bude neprekidna.