5271. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Oba sabirka posebno rastu neograničeno, pa ih najpre spajamo. Kako je $\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x} :$

\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}

Koristimo formule dvostrukog ugla: $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$ i $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha .$ Iz prve, za $\alpha=\frac x2 :$ $1-\cos x=2\sin^2\frac x2 .$

Primenjujemo obe formule (sa $\alpha=\frac x2$ ) i skraćujemo $2\sin\frac x2 :$

\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{2\sin^2\frac x2}{2\sin\frac x2\cos\frac x2}=\frac{\sin\frac x2}{\cos\frac x2}=\operatorname{tg}\frac x2

Tangens je definisan u nuli, pa samo uvrštavamo:

\lim_{x\to0}\operatorname{tg}\frac x2=\operatorname{tg}0=0

Provera brojevima, blizu tačke $0$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=-0{,}001:\ f(x)\approx-0{,}0005 \\ x=0{,}001:\ f(x)\approx0{,}0005\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\sin x}-\operatorname{ctg}x\right)=0 .$

Započni učenje

Online časovi

125.z

Beleške