5187. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Pravila iz gradiva: ako postoje $\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ i $\lim_{x\to x_0}g(x)=b ,$ onda je granična vrednost zbira, razlike i proizvoda jednaka zbiru, razlici i proizvodu graničnih vrednosti, a granična vrednost količnika je $\frac ab ,$ ako je $b\neq0 .$ Posledica: za polinome, razlomke, korene, stepene i trigonometrijske funkcije koje su definisane u tački $x_0$ granična vrednost je jednaka vrednosti funkcije u toj tački — dovoljno je uvrstiti $x_0 .$

Imenilac $x^2+1$ je uvek pozitivan (najmanje $1$ ), pa je razlomak definisan za svako $x .$ Uvrštavamo $x=-1 :$

\lim_{x\to-1}\frac{x+2}{x^2+1}=\frac{-1+2}{(-1)^2+1}=\frac12

Proverimo brojevima da se vrednosti zaista približavaju tom broju kada se $x$ približava tački sa leve strane:

\begin{gathered}x=-1{,}1:\ f(x)\approx0{,}4072 \\ x=-1{,}01:\ f(x)\approx0{,}4901 \\ x=-1{,}001:\ f(x)\approx0{,}499\end{gathered}

I sa desne strane:

\begin{gathered}x=-0{,}9:\ f(x)\approx0{,}6077 \\ x=-0{,}99:\ f(x)\approx0{,}5101 \\ x=-0{,}999:\ f(x)\approx0{,}501\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to-1}\frac{x+2}{x^2+1}=\frac12 .$

Započni učenje

Online časovi

119.d

Beleške