Stepenovanje proizvoda

Pravilo glasi:

$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$

To znači da kada ceo proizvod podignemo na stepen (n), taj stepen se primenjuje pojedinačno na svaki činilac proizvoda.

Primeri

$$(ab)^2 = a^2 \cdot b^2$$ $$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$$ $$(pq)^4 = p^4 \cdot q^4$$ $$\bigl(xy^2\bigr)^3 = x^3 \cdot (y^2)^3 = x^3 \cdot y^6$$

Za proizvod više činilaca:

$$(abc)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$$

Stepenovanje korena

Pravilo glasi:

$$\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m} = \bigl(a^{\tfrac{1}{n}}\bigr)^{m} = a^{\tfrac{m}{n}}$$

Jednako važna je i obrnuta formulа, korenovanje stepena:

$$\sqrt[n]{a^{m}} = \bigl(a^{m}\bigr)^{\tfrac{1}{n}} = a^{\tfrac{m}{n}}$$

Dakle, podizanje korena na stepen ili izvlačenje korena iz stepena daje isti eksponentni izraz $a^{m/n}$.

Primeri

$$(\sqrt{a})^2 = a^{\tfrac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$$ $$\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^4 = x^{\tfrac{4}{3}}$$ $$\sqrt[5]{m^3} = m^{\tfrac{3}{5}}$$ $$\sqrt{\bigl(x^2 y^3\bigr)} = (x^2 y^3)^{\tfrac{1}{2}} = x^{2\cdot\tfrac{1}{2}} \, y^{3\cdot\tfrac{1}{2}} = x^1 \, y^{\tfrac{3}{2}} = x \, y^{\tfrac{3}{2}}$$

5. Koren od korena (složen koren):

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \bigl(a^{\tfrac{1}{n}}\bigr)^{\tfrac{1}{m}} = a^{\tfrac{1}{n}\cdot \tfrac{1}{m}} = a^{\tfrac{1}{mn}}$$

Stepenovanje količnika

Pravilo glasi:

$$\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$$

To znači da kada količnik dva broja ili izraza podignemo na stepen (n), taj stepen se primenjuje i na brojilac i na imenilac.

Primeri

$$\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^2 = \frac{a^2}{b^2}$$ $$\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^3 = \frac{x^3}{2^3} = \frac{x^3}{8}$$ $$\biggl(\frac{3m}{5n}\biggr)^4 = \frac{(3m)^4}{(5n)^4} = \frac{3^4\,m^4}{5^4\,n^4} = \frac{81\,m^4}{625\,n^4}$$

Za negativan eksponent:

$$\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{-2} = \frac{a^{-2}}{b^{-2}} = \frac{1/a^2}{1/b^2} = \frac{b^2}{a^2}$$

Za racionalni eksponent:

$$\biggl(\frac{m}{n}\biggr)^{\frac{1}{3}} = \frac{m^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{m}}{\sqrt[3]{n}}$$

Količnik sa više faktora:

$$\biggl(\frac{a\,b}{c\,d}\biggr)^n = \frac{(a\,b)^n}{(c\,d)^n} = \frac{a^n\,b^n}{c^n\,d^n}$$

Množenje stepena (sabiranje eksponenata)

Kada množimo dva stepena iste baze, njima sabiramo eksponente:

$$a^m \cdot\ a^n = a^{m + n}$$

To znači da baza ostaje ista, a eksponenti se jednostavno sabiraju.

Primeri

$$a^2 \cdot a^3 = a^{2 + 3} = a^5$$ $$x^3 \cdot x^4 = x^{3 + 4} = x^7$$ $$m^{\tfrac{1}{2}} \cdot m^{\tfrac{3}{2}} = m^{\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}} = m^{\tfrac{4}{2}} = m^2$$

Sa negativnim eksponentima:

$$a^{-2} \cdot a^5 = a^{-2 + 5} = a^3$$

Sa više faktora:

$$a^{m} \cdot a^{n} \cdot a^{p} = a^{m + n + p}$$

Kombinovanje različitih eksponenata:

$$x^1 \cdot x^0 \cdot x^{-3} = x^{1 + 0 - 3} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$$

---

Zapamtite: pravilo važi samo kada se množe stepeni iste baze. Ako su baze različite, ne možemo sabirati eksponente.

Deljenje stepena (oduzimanje eksponenata)

Kada delimo dva stepena iste baze, njima sabiramo eksponente:

$$\frac{a^{m}}{a^{n}} \;=\; a^{m - n}$$

To znači da baza ostaje ista, a eksponenti se jednostavno oduzimaju.

Primeri

$$\frac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3$$ $$\frac{x^4}{x^7} = x^{4-7} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$$ $$\frac{m^{\tfrac{3}{2}}}{m^{\tfrac{1}{2}}} = m^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}} = m^{\tfrac{2}{2}} = m^1 = m$$

Sa negativnim eksponentom u brojiocu:

$$\frac{a^{-2}}{a^3} = a^{-2 - 3} = a^{-5} = \frac{1}{a^5}$$

Deljenje proizvoda istih baza:

$$\frac{a^m\,b^p}{a^n\,b^q} = a^{m-n}\;b^{p-q}$$

Deljenje različitih baza - pogledaj stepenovanje količnika:

$$\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}} \quad$$

---

Napomena: Pravilo oduzimanja eksponenata važi samo kad delite stepen iste baze. Ako su baze različite, eksponenti se ne mogu direktno porediti.

Korenovanje stepena

Pravilo glasi:

$$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\tfrac{m}{n}}$$

To znači da koren n-tog stepena izraza $a^{m}$ daje isti rezultat kao eksponent $a^{m/n}$.

Primeri korenovanja stepena

$$\sqrt{a^2} = a^{\tfrac{2}{2}} = a$$ $$\sqrt[3]{x^4} = x^{\tfrac{4}{3}}$$ $$\sqrt[5]{m^3} = m^{\tfrac{3}{5}}$$

Za proizvod unutar korena:

$$\sqrt{(x\,y^2)^3} = (x^3\,y^6)^{\tfrac{1}{2}} = x^{\tfrac{3}{2}}\,y^3$$

Složen koren stepena:

$$\sqrt[m]{a^{n}} = a^{\tfrac{n}{m}} \qquad \sqrt[k]{\sqrt[\ell]{a^p}} = a^{\tfrac{p}{\ell\,k}}$$

---

Apsolutna vrednost pri parnom korenovanju stepena

Kada korenimo parni stepen, dobijamo apsolutnu vrednost:

$$\sqrt[n]{a^n} = |a|$$

Napomena:
Ako (n) nije paran, važi jednostavno

$$\sqrt[n]{a^n} = a$$

jer neparni koren čuva predznak.

Primeri

Kvadratni koren parnog stepena:

$$\sqrt{a^2} = |a|$$

Četvrti koren četvrtog stepena:

$$\sqrt[4]{x^4} = |x|$$

Generalno, za parni $n$:

$$\sqrt[n]{(-3)^n} = 3$$