Razmera i proporcije

Definicija razmere

Razmera je način način poređenja dve ili više količine. Razmere mogu biti korišćene da uporede cenu, težinu, veličinu kao i druge kvantitativne osobine.

Pogledajmo sledeću sliku:

Razmera između zelenih i crvenih jabuka je $3:1$ tj. za svaku zelenu jabuku postoje 3 crvene jabuke.

Reč razmera se može zameniti za reč odnos. Koliko nečega ima u odnosu na nešto drugo. Odnos između crvenih i zelenih jabuka je $3 : 1$.

Svaka razmera se može napisati u dva smera. Tačno je napisati i da je odnos između crvenih i zelenih jabuka $1 : 3$, tj. za svake 3 crvene jabuke postoji 1 zelena jabuka.

Primer

Pet učenika je pitano da li treniraju neki sport. Četvoro učenika je reklo da i jedan učenik je rekao je ne. Koja je razmera (odnos) između učenka koji treniraju i onih koji ne treniraju?

$4:1$ - Na svakog učenika koji ne trenira postoji 4 učenika koji treniraju.

$1:4$ - Na svaka 4 učenika koji treniraju postoji 1 učenik koji ne trenira.

Samerljive i nesamerljive veličine

Podesti se skupova brojeva ovde.

Dve veličine su samerljive ako i samo ako je vrednost njihove razmere racionalan broj.

Iz primera sa jabukama možemo izračunati sledeće:

$$3:1 = \frac{3}{1} = 3, 3 \in \mathbb{Q}$$

Stoga, zaključujemo da je razmera između crvenih i zelenih jabuka samerljiva veličina.

Nesamerljive veličine

Dve veličine su nesamerljive ako i samo ako je vrednost njihove razmere iracionalan broj.

Posmatrajmo jedinični kvadrat i njegovu dijagonalu.

Jedinični kvadrat - kvadrat gde je svaka stranica dužine 1.

Pomoću pitagorine teoreme $c^2 = a^2 + b^2$ računamo dužinu dijagonale.

$$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2, d=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a, d=\sqrt{2}a$$ $$d = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}, d= \sqrt{2}$$

Razmera između stranice i dijagonale jediničnog kvadrata je $\sqrt{2} : 1 = \sqrt{2} = 1.4142135623...$.

Sa obzirom da $\sqrt{2}$ pripada skupu iraconialnih brojeva $\mathbb{I}$, razmera između stranice i dijagonale jediničnog kvadrata je nesamerljiva veličina.

Definicija proporcije

Jednakost dve jednake razmere $a:b = c:d, b \neq 0, d\neq0$ se naziva proporcija. Prethodna jednakost se izgovara: a i b su proporcionalni sa c i d.