564.

Logaritamska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

5log⁡x9x+log⁡9xx3+8log⁡9x2x2=25\log_{\frac x 9}x+\log_{\frac 9x}x^3+8\log_{9x^2}x^2=2
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačine:

x≠9∧x≠0∧x≠±13∧x>0x\not=9 \quad\land\quad x\not=0 \quad\land\quad x\not=\pm\frac1 3 \quad\land\quad x\gt0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca, a>0, b>0, c>0, a≠1, c≠1\log_ab=\frac {\log_cb} {\log_ca}, \ a\gt0,\ b \gt0,\ c\gt0, \ a\not=1, \ c\not=1 tako da svi članovi imaju istu osnovu:

5⋅log⁡9xlog⁡9x9+log⁡9x3log⁡99x+8⋅log⁡9x2log⁡99x2=25\cdot\frac {\log_9x} {\log_9\frac x 9}+\frac {\log_9x^3}{\log_9\frac 9x}+8\cdot\frac {\log_9x^2}{\log_99x^2}=2

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay, x>0, y>0, a>0, a≠1\log_a\frac xy=\log_ax-\log_ay, \ x\gt0,\ y \gt0,\ a\gt0, \ a\not=1

5log⁡9xlog⁡9x−log⁡99+log⁡9x3log⁡99−log⁡9x+8log⁡9x2log⁡99x2=2\frac {5\log_9x} {\log_9x-\log_99}+\frac {\log_9x^3}{\log_99-\log_9x}+\frac {8\log_9x^2}{\log_99x^2}=2

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡axy=log⁡ax+log⁡ay, x>0, y>0, a>0, a≠1\log_axy=\log_ax+\log_ay, \ x\gt0,\ y \gt0,\ a\gt0, \ a\not=1

5log⁡9xlog⁡9x−log⁡99+log⁡9x3log⁡99−log⁡9x+8log⁡9x2log⁡99+log⁡9x2=2\frac {5\log_9x} {\log_9x-\log_99}+\frac {\log_9x^3}{\log_99-\log_9x}+\frac {8\log_9x^2}{\log_99+\log_9x^2}=2

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡axs=slog⁡ax, x>0, a>0, a≠1, s∈R\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}

5log⁡9xlog⁡9x−log⁡99+3log⁡9xlog⁡99−log⁡9x+8⋅2log⁡9xlog⁡99+2log⁡9x=2\frac {5\log_9x} {\log_9x-\log_99}+\frac {3\log_9x}{\log_99-\log_9x}+\frac {8\cdot2\log_9x}{\log_99+2\log_9x}=2

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡aa=1, a>0, a≠1\log_aa=1, \ a\gt0, \ a\not=1

5log⁡9xlog⁡9x−1+3log⁡9x1−log⁡9x+16log⁡9x1+2log⁡9x=2\frac {5\log_9x} {\log_9x-1}+\frac {3\log_9x}{1-\log_9x}+\frac {16\log_9x}{1+2\log_9x}=2

Uvesti smenu:

log⁡9x=t\log_9x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

5tt−1+3t1−t+16t1+2t=2\frac {5t} {t-1}+\frac {3t}{1-t}+\frac {16t}{1+2t}=2

Izvući minus ispred razlomka:

2tt−1+16t1+2t=2\frac {2t} {t-1}+\frac {16t}{1+2t}=2
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti izraz sa (t−1)(1+2t):(t-1)(1+2t):

2t(1+2t)+16t(t−1)=2(t−1)(1+2t)2t(1+2t)+16t(t-1)=2(t-1)(1+2t)

Osloboditi se zagrada množenjem:

20t2−14t=4t2−2t−220t^2-14t=4t^2-2t-2
DODATNO OBJAŠNJENJE

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

16t2−12t+2=016t^2-12t+2=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Podeliti izraz sa 2:

8t2−6t+1=08t^2-6t+1=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=8,a=8, b=−6b=-6 i c=1c=1

t1,2=6±(−6)2−4⋅8⋅12⋅8  ⟹  t1=12,t2=14t_{1,2}=\frac {6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot8\cdot1}} {2\cdot8} \implies t_1=\frac12, \quad t_2=\frac14

Vratiti smenu i uvrstiti dobijene vrednosti:

log⁡9x=12∨log⁡9x=14\log_9x=\frac 12 \quad\lor\quad \log_9x=\frac 14

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡aa=1, a>0, a≠1,\log_aa=1, \ a\gt0, \ a\not=1, gde je a=9a=9 tako da izrazi sa obe strane znaka jednakosti imaju istu osnovu:

log⁡9x=12log⁡99∨log⁡9x=14log⁡99\log_9x=\frac 12\log_99 \quad\lor\quad \log_9x=\frac 14\log_99

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡axs=slog⁡ax, x>0, a>0, a≠1, s∈R\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}

log⁡9x=log⁡9912∨log⁡9x=log⁡9914\log_9x=\log_99^{\frac 12} \quad\lor\quad \log_9x=\log_99^{\frac 14}

Kako su osnove jednake, moguće je izjednačiti numeruse:

x=3∨x=3x=3 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti