2079.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Uvodimo smene kako bismo pojednostavili sistem jednačina. Neka je $u = 11^{xz} ,$ $v = 11^z$ i $w = 5^{y/2} .$

Primetimo da se izrazi u sistemu mogu zapisati preko novih promenljivih. Važi $5^y = (5^{y/2})^2 = w^2$ i $11^{(x-1)z} = 11^{xz - z} = \frac{11^{xz}}{11^z} = \frac{u}{v} .$

Zamenom u početni sistem dobijamo novi sistem jednačina:

Iz druge jednačine izražavamo promenljivu $v$ preko $w :$

Iz treće jednačine izražavamo promenljivu $u$ preko $v$ i $w :$

Zamenjujemo izraz za $v$ u dobijenu jednačinu za $u$ i sređujemo:

Sada zamenjujemo dobijeni izraz za $u$ u prvu jednačinu sistema:

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu po $w :$

Vraćamo vrednost $w = 5$ u izraz za $v :$

Zatim računamo vrednost promenljive $u :$

Vraćamo se na originalne promenljive. Za $w = 5$ imamo:

Za $v = 11$ imamo:

Za $u = 121$ imamo:

Zamenom $z = 1$ u prethodnu jednačinu dobijamo vrednost za $x :$

Konačno rešenje sistema je uređena trojka $(x, y, z) :$